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完整版阿氏圓

1 中考數學壓軸之阿氏圓模型專題訓練

阿氏圓(阿波羅尼斯圓):

已知平面上兩定點一 B ,則所有滿足PC k ( k 不等於1)的點P 的軌跡是一個圓,這個軌跡

PB

最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現, 故稱阿氏圓。在初中的題目中往往利用逆向思維構造" 斜A"型相似(也叫"母子型相似")+兩點間線段最短解決帶係數兩線段之和的最值問題。

在幾何畫板上觀察下面的圖形,當 P 在在圓A 上運動時,PC PB 的長在不斷的發生變化,但 PC 的比值卻始終保持不變。

PB

解決阿氏圓問題,首先要熟練掌握母子型相似三角形的性質和構造方法。

如圖,在△ APB 的邊AB 上找一點C,使得AP AC ,貝吐匕時厶APS A ABP

AB AP

母子型相似(共角共邊)

A -C

⑤計算AC 的長度即為最小值.

②計算0P 的值,則k 0P 丄 OB OB 2

的線段BP 的兩端點, 半徑 "圓心到定點的距離 OC ③計算OC 的長度,由一一k 得:OC

OP

④ 連接AC ,當A 、P 、C 三點共線時, 1

OP (相似比X 半徑)

AP 1 -BP AP PC AC 2 那麼如何應用"阿氏圓"的性質解答帶係數的兩條線段和的最小值呢 ?我們來看一道基本題

目:

①分別連接圓心0與係數不為1 即 OP 0B;